Resolver {l}{3x+5y=4}{-3x+4y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { - 3 x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9} \approx -1.444444444$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+5y=4$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-5y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Ordeztu \frac{-5y+4}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+4y=11).

$$-3\left(-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+4y=11$$

Egin -3 bider \frac{-5y+4}{3}.

$$5y-4+4y=11$$

Gehitu 5y eta 4y.

$$9y-4=11$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9y=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$y=\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{5}{3} y balioarekin x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}+\frac{4}{3}$$

Egin -\frac{5}{3} bider \frac{5}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{25}{9}+\frac{4}{3}$$

Gehitu \frac{4}{3} eta -\frac{25}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{13}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{3\times 4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-5\left(-3\right)}&\frac{3}{3\times 4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 4-\frac{5}{27}\times 11\\\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{9}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

3x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 4,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 11$$

Sinplifikatu.

$$-9x-15y=-12,-9x+12y=33$$

Egin -9x+12y=33 ken -9x-15y=-12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-9x+9x-15y-12y=-12-33$$

Gehitu -9x eta 9x. Sinplifikatu egiten dira -9x eta 9x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-15y-12y=-12-33$$

Gehitu -15y eta -12y.

$$-27y=-12-33$$

Gehitu -12 eta -33.

$$-27y=-45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -27 balioarekin.

$$y=\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{5}{3} y balioarekin -3x+4y=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+4\times \frac{5}{3}=11$$

Egin 4 bider \frac{5}{3}.

$$-3x+\frac{20}{3}=11$$

Egin ken \frac{20}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=\frac{13}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-\frac{13}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$