Resolver {l}{3x+5y=1}{2x-3y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 1 } \\ { 2 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{3}{19}\approx 0.157894737$$

$$y=\frac{2}{19}\approx 0.105263158$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+5y=1$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-5y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5y+1.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{-5y+1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-3y=0).

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=0$$

Egin 2 bider \frac{-5y+1}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}-3y=0$$

Gehitu -\frac{10y}{3} eta -3y.

$$-\frac{19}{3}y+\frac{2}{3}=0$$

Egin ken \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{19}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{19}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{2}{19}$$

Ordeztu \frac{2}{19} y balioarekin x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{2}{19}+\frac{1}{3}$$

Egin -\frac{5}{3} bider \frac{2}{19}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{10}{57}+\frac{1}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} eta -\frac{10}{57} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{3}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\times 5y=2,3\times 2x+3\left(-3\right)y=0$$

Sinplifikatu.

$$6x+10y=2,6x-9y=0$$

Egin 6x-9y=0 ken 6x+10y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+10y+9y=2$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y+9y=2$$

Gehitu 10y eta 9y.

$$19y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$y=\frac{2}{19}$$

Ordeztu \frac{2}{19} y balioarekin 2x-3y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-3\times \frac{2}{19}=0$$

Egin -3 bider \frac{2}{19}.

$$2x-\frac{6}{19}=0$$

Gehitu \frac{6}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{6}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{3}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$