Resolver {l}{3x+5y=-1}{3x+y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 1 } \\ { 3 x + y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+5y=-1$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-5y-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-1\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5y-1.

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{-5y-1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+y=3).

$$3\left(-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}\right)+y=3$$

Egin 3 bider \frac{-5y-1}{3}.

$$-5y-1+y=3$$

Gehitu -5y eta y.

$$-4y-1=3$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}$$

Egin -\frac{5}{3} bider -1.

$$x=\frac{5-1}{3}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta \frac{5}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{4}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 3}&-\frac{5}{3-5\times 3}\\-\frac{3}{3-5\times 3}&\frac{3}{3-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{5}{12}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-1\right)+\frac{5}{12}\times 3\\\frac{1}{4}\left(-1\right)-\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

Egin 3x+y=3 ken 3x+5y=-1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+5y-y=-1-3$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5y-y=-1-3$$

Gehitu 5y eta -y.

$$4y=-1-3$$

Gehitu -1 eta -3.

$$4y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 3x+y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-1=3$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{4}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$