Resolver {l}{3x+2y-7=0}{x-5y+9=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y - 7 = 0 } \\ { x - 5 y + 9 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y-7=0$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x+2y=7$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Ordeztu \frac{-2y+7}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-5y+9=0).

$$-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}-5y+9=0$$

Gehitu -\frac{2y}{3} eta -5y.

$$-\frac{17}{3}y+\frac{7}{3}+9=0$$

Gehitu \frac{7}{3} eta 9.

$$-\frac{17}{3}y+\frac{34}{3}=0$$

Egin ken \frac{34}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{17}{3}y=-\frac{34}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{17}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

Egin -\frac{2}{3} bider 2.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

Gehitu \frac{7}{3} eta -\frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-5\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-5\right)-2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 7+\frac{2}{17}\left(-9\right)\\\frac{1}{17}\times 7-\frac{3}{17}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+2y-7=0,3x+3\left(-5\right)y+3\times 9=0$$

Sinplifikatu.

$$3x+2y-7=0,3x-15y+27=0$$

Egin 3x-15y+27=0 ken 3x+2y-7=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+2y+15y-7-27=0$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y+15y-7-27=0$$

Gehitu 2y eta 15y.

$$17y-7-27=0$$

Gehitu -7 eta -27.

$$17y-34=0$$

Gehitu 34 ekuazioaren bi aldeetan.

$$17y=34$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x-5y+9=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-5\times 2+9=0$$

Egin -5 bider 2.

$$x-10+9=0$$

Gehitu -10 eta 9.

$$x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=2$$