Resolver {l}{3x+2y=18}{5x=2-y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 18 } \\ { 5 x = 2 - y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=12$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu y bi aldeetan.

$$5x+y=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y=18,5x+y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y=18$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y+18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+18\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y+18.

$$x=-\frac{2}{3}y+6$$

Ordeztu -\frac{2y}{3}+6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+y=2).

$$5\left(-\frac{2}{3}y+6\right)+y=2$$

Egin 5 bider -\frac{2y}{3}+6.

$$-\frac{10}{3}y+30+y=2$$

Gehitu -\frac{10y}{3} eta y.

$$-\frac{7}{3}y+30=2$$

Egin ken 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{3}y=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=12$$

Ordeztu 12 y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times 12+6$$

Egin -\frac{2}{3} bider 12.

$$x=-8+6$$

Gehitu 6 eta -8.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=12$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu y bi aldeetan.

$$5x+y=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y=18,5x+y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\5&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 5}&-\frac{2}{3-2\times 5}\\-\frac{5}{3-2\times 5}&\frac{3}{3-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 18+\frac{2}{7}\times 2\\\frac{5}{7}\times 18-\frac{3}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=12$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu y bi aldeetan.

$$5x+y=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y=18,5x+y=2$$

3x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 18,3\times 5x+3y=3\times 2$$

Sinplifikatu.

$$15x+10y=90,15x+3y=6$$

Egin 15x+3y=6 ken 15x+10y=90 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x+10y-3y=90-6$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y-3y=90-6$$

Gehitu 10y eta -3y.

$$7y=90-6$$

Gehitu 90 eta -6.

$$7y=84$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=12$$

Ordeztu 12 y balioarekin 5x+y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+12=2$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=12$$