Resolver {l}{3x+2y=17}{5x-y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 17 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{21}{13} = 1\frac{8}{13} \approx 1.615384615$$

$$y = \frac{79}{13} = 6\frac{1}{13} \approx 6.076923077$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y=17$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y+17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+17\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y+17.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}$$

Ordeztu \frac{-2y+17}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-y=2).

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}\right)-y=2$$

Egin 5 bider \frac{-2y+17}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{85}{3}-y=2$$

Gehitu -\frac{10y}{3} eta -y.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{85}{3}=2$$

Egin ken \frac{85}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{79}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{79}{13}$$

Ordeztu \frac{79}{13} y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{79}{13}+\frac{17}{3}$$

Egin -\frac{2}{3} bider \frac{79}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{158}{39}+\frac{17}{3}$$

Gehitu \frac{17}{3} eta -\frac{158}{39} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{21}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 17+\frac{2}{13}\times 2\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{13}\\\frac{79}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

3x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 17,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 2$$

Sinplifikatu.

$$15x+10y=85,15x-3y=6$$

Egin 15x-3y=6 ken 15x+10y=85 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x+10y+3y=85-6$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y+3y=85-6$$

Gehitu 10y eta 3y.

$$13y=85-6$$

Gehitu 85 eta -6.

$$13y=79$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$y=\frac{79}{13}$$

Ordeztu \frac{79}{13} y balioarekin 5x-y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-\frac{79}{13}=2$$

Gehitu \frac{79}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{105}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{21}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$