Resolver {l}{3x+2y=15}{x+4y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 15 } \\ { x + 4 y = 50 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y = \frac{27}{2} = 13\frac{1}{2} = 13.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y=15,x+4y=50$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y=15$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y+15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+15\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y+15.

$$x=-\frac{2}{3}y+5$$

Ordeztu -\frac{2y}{3}+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+4y=50).

$$-\frac{2}{3}y+5+4y=50$$

Gehitu -\frac{2y}{3} eta 4y.

$$\frac{10}{3}y+5=50$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{10}{3}y=45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{10}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{27}{2}$$

Ordeztu \frac{27}{2} y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{27}{2}+5$$

Egin -\frac{2}{3} bider \frac{27}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-9+5$$

Gehitu 5 eta -9.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=\frac{27}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y=15,x+4y=50$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\1&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\50\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2}&-\frac{2}{3\times 4-2}\\-\frac{1}{3\times 4-2}&\frac{3}{3\times 4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\50\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 50\\-\frac{1}{10}\times 15+\frac{3}{10}\times 50\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\\frac{27}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=\frac{27}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y=15,x+4y=50$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+2y=15,3x+3\times 4y=3\times 50$$

Sinplifikatu.

$$3x+2y=15,3x+12y=150$$

Egin 3x+12y=150 ken 3x+2y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+2y-12y=15-150$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y-12y=15-150$$

Gehitu 2y eta -12y.

$$-10y=15-150$$

Gehitu 15 eta -150.

$$-10y=-135$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$y=\frac{27}{2}$$

Ordeztu \frac{27}{2} y balioarekin x+4y=50 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+4\times \frac{27}{2}=50$$

Egin 4 bider \frac{27}{2}.

$$x+54=50$$

Egin ken 54 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=\frac{27}{2}$$