Resolver {l}{3x+2y=1}{2x-7y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { 2 x - 7 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{3}{25}=0.12$$

$$y=\frac{8}{25}=0.32$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+2y=1$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-2y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+1\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2y+1.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{-2y+1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-7y=-2).

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-7y=-2$$

Egin 2 bider \frac{-2y+1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}-7y=-2$$

Gehitu -\frac{4y}{3} eta -7y.

$$-\frac{25}{3}y+\frac{2}{3}=-2$$

Egin ken \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{25}{3}y=-\frac{8}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{25}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{8}{25}$$

Ordeztu \frac{8}{25} y balioarekin x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{8}{25}+\frac{1}{3}$$

Egin -\frac{2}{3} bider \frac{8}{25}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{16}{75}+\frac{1}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} eta -\frac{16}{75} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{3}{25}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-7\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\\\frac{2}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}+\frac{2}{25}\left(-2\right)\\\frac{2}{25}-\frac{3}{25}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\\\frac{8}{25}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\times 2y=2,3\times 2x+3\left(-7\right)y=3\left(-2\right)$$

Sinplifikatu.

$$6x+4y=2,6x-21y=-6$$

Egin 6x-21y=-6 ken 6x+4y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+4y+21y=2+6$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y+21y=2+6$$

Gehitu 4y eta 21y.

$$25y=2+6$$

Gehitu 2 eta 6.

$$25y=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$y=\frac{8}{25}$$

Ordeztu \frac{8}{25} y balioarekin 2x-7y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-7\times \frac{8}{25}=-2$$

Egin -7 bider \frac{8}{25}.

$$2x-\frac{56}{25}=-2$$

Gehitu \frac{56}{25} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{6}{25}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{3}{25}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$