Resolver {l}{3m+4n=7}{4m-3n-1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 m + 4 n = 7 } \\ { 4 m - 3 n - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m=1$$

$$n=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3m+4n=7$$

Egin ken 4n ekuazioaren bi aldeetan.

$$3m=-4n+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$m=\frac{1}{3}\left(-4n+7\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -4n+7.

$$m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}$$

Ordeztu \frac{-4n+7}{3} balioa m balioarekin beste ekuazioan (4m-3n-1=0).

$$4\left(-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}\right)-3n-1=0$$

Egin 4 bider \frac{-4n+7}{3}.

$$-\frac{16}{3}n+\frac{28}{3}-3n-1=0$$

Gehitu -\frac{16n}{3} eta -3n.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{28}{3}-1=0$$

Gehitu \frac{28}{3} eta -1.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{25}{3}=0$$

Egin ken \frac{25}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{25}{3}n=-\frac{25}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{25}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$n=1$$

Ordeztu 1 n balioarekin m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=\frac{-4+7}{3}$$

Gehitu \frac{7}{3} eta -\frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=1$$

Ebatzi da sistema.

$$m=1,n=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 7+\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}\times 7-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=1,n=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

3m eta 4m berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 3m+4\times 4n=4\times 7,3\times 4m+3\left(-3\right)n+3\left(-1\right)=0$$

Sinplifikatu.

$$12m+16n=28,12m-9n-3=0$$

Egin 12m-9n-3=0 ken 12m+16n=28 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12m-12m+16n+9n+3=28$$

Gehitu 12m eta -12m. Sinplifikatu egiten dira 12m eta -12m. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$16n+9n+3=28$$

Gehitu 16n eta 9n.

$$25n+3=28$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$25n=25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$n=1$$

Ordeztu 1 n balioarekin 4m-3n-1=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$4m-3-1=0$$

Gehitu -3 eta -1.

$$4m-4=0$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4m=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$m=1$$

Ebatzi da sistema.

$$m=1,n=1$$