Resolver {l}{3a-7b=25}{2a-7b=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a - 7 b = 25 } \\ { 2 a - 7 b = 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=5$$

$$b = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7} \approx -1.428571429$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3a-7b=25,2a-7b=20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3a-7b=25$$

Gehitu 7b ekuazioaren bi aldeetan.

$$3a=7b+25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$a=\frac{1}{3}\left(7b+25\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 7b+25.

$$a=\frac{7}{3}b+\frac{25}{3}$$

Ordeztu \frac{7b+25}{3} balioa a balioarekin beste ekuazioan (2a-7b=20).

$$2\left(\frac{7}{3}b+\frac{25}{3}\right)-7b=20$$

Egin 2 bider \frac{7b+25}{3}.

$$\frac{14}{3}b+\frac{50}{3}-7b=20$$

Gehitu \frac{14b}{3} eta -7b.

$$-\frac{7}{3}b+\frac{50}{3}=20$$

Egin ken \frac{50}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{3}b=\frac{10}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=-\frac{10}{7}$$

Ordeztu -\frac{10}{7} b balioarekin a=\frac{7}{3}b+\frac{25}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=\frac{7}{3}\left(-\frac{10}{7}\right)+\frac{25}{3}$$

Egin \frac{7}{3} bider -\frac{10}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=\frac{-10+25}{3}$$

Gehitu \frac{25}{3} eta -\frac{10}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=5$$

Ebatzi da sistema.

$$a=5,b=-\frac{10}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3a-7b=25,2a-7b=20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-7\\2&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\left(-7\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-7\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-7\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25-20\\\frac{2}{7}\times 25-\frac{3}{7}\times 20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=5,b=-\frac{10}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3a-7b=25,2a-7b=20$$

Egin 2a-7b=20 ken 3a-7b=25 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3a-2a-7b+7b=25-20$$

Gehitu -7b eta 7b. Sinplifikatu egiten dira -7b eta 7b. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3a-2a=25-20$$

Gehitu 3a eta -2a.

$$a=25-20$$

Gehitu 25 eta -20.

$$a=5$$

Ordeztu 5 a balioarekin 2a-7b=20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$2\times 5-7b=20$$

Egin 2 bider 5.

$$10-7b=20$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7b=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$b=-\frac{10}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=5,b=-\frac{10}{7}$$