Resolver {l}{3a-4b=2}{5a+4b=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a - 4 b = 2 } \\ { 5 a + 4 b = 14 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=2$$

$$b=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3a-4b=2,5a+4b=14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3a-4b=2$$

Gehitu 4b ekuazioaren bi aldeetan.

$$3a=4b+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$a=\frac{1}{3}\left(4b+2\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 4b+2.

$$a=\frac{4}{3}b+\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{4b+2}{3} balioa a balioarekin beste ekuazioan (5a+4b=14).

$$5\left(\frac{4}{3}b+\frac{2}{3}\right)+4b=14$$

Egin 5 bider \frac{4b+2}{3}.

$$\frac{20}{3}b+\frac{10}{3}+4b=14$$

Gehitu \frac{20b}{3} eta 4b.

$$\frac{32}{3}b+\frac{10}{3}=14$$

Egin ken \frac{10}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{32}{3}b=\frac{32}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{32}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=1$$

Ordeztu 1 b balioarekin a=\frac{4}{3}b+\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=\frac{4+2}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta \frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=2$$

Ebatzi da sistema.

$$a=2,b=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3a-4b=2,5a+4b=14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}&-\frac{-4}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{32}&\frac{3}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 2+\frac{1}{8}\times 14\\-\frac{5}{32}\times 2+\frac{3}{32}\times 14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=2,b=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3a-4b=2,5a+4b=14$$

3a eta 5a berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3a+5\left(-4\right)b=5\times 2,3\times 5a+3\times 4b=3\times 14$$

Sinplifikatu.

$$15a-20b=10,15a+12b=42$$

Egin 15a+12b=42 ken 15a-20b=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15a-15a-20b-12b=10-42$$

Gehitu 15a eta -15a. Sinplifikatu egiten dira 15a eta -15a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-20b-12b=10-42$$

Gehitu -20b eta -12b.

$$-32b=10-42$$

Gehitu 10 eta -42.

$$-32b=-32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -32 balioarekin.

$$b=1$$

Ordeztu 1 b balioarekin 5a+4b=14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$5a+4=14$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5a=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$a=2$$

Ebatzi da sistema.

$$a=2,b=1$$