Resolver {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3a+14b=4$$

Egin ken 14b ekuazioaren bi aldeetan.

$$3a=-14b+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -14b+4.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

Ordeztu \frac{-14b+4}{3} balioa a balioarekin beste ekuazioan (13a+19b=13).

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

Egin 13 bider \frac{-14b+4}{3}.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

Gehitu -\frac{182b}{3} eta 19b.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

Egin ken \frac{52}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{125}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=\frac{13}{125}$$

Ordeztu \frac{13}{125} b balioarekin a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

Egin -\frac{14}{3} bider \frac{13}{125}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

Gehitu \frac{4}{3} eta -\frac{182}{375} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=\frac{106}{125}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

3a eta 13a berdintzeko, biderkatu 13 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

Sinplifikatu.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

Egin 39a+57b=39 ken 39a+182b=52 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

Gehitu 39a eta -39a. Sinplifikatu egiten dira 39a eta -39a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$182b-57b=52-39$$

Gehitu 182b eta -57b.

$$125b=52-39$$

Gehitu 52 eta -39.

$$125b=13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 125 balioarekin.

$$b=\frac{13}{125}$$

Ordeztu \frac{13}{125} b balioarekin 13a+19b=13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

Egin 19 bider \frac{13}{125}.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

Egin ken \frac{247}{125} ekuazioaren bi aldeetan.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$a=\frac{106}{125}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$