Resolver {l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-1 biderkatzeko.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y-1 biderkatzeko.

$$3x-3=2y-2$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x-3-2y=-2$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$3x-2y=-2+3$$

1 lortzeko, gehitu -2 eta 3.

$$3x-2y=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta y-1 biderkatzeko.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+5 biderkatzeko.

$$4y-4=3x+15$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$4y-4-3x=15$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$4y-3x=15+4$$

19 lortzeko, gehitu 15 eta 4.

$$4y-3x=19$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=1$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{2y+1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+4y=19).

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

Egin -3 bider \frac{2y+1}{3}.

$$-2y-1+4y=19$$

Gehitu -2y eta 4y.

$$2y-1=19$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

Egin \frac{2}{3} bider 10.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} eta \frac{20}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-1 biderkatzeko.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y-1 biderkatzeko.

$$3x-3=2y-2$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x-3-2y=-2$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$3x-2y=-2+3$$

1 lortzeko, gehitu -2 eta 3.

$$3x-2y=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta y-1 biderkatzeko.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+5 biderkatzeko.

$$4y-4=3x+15$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$4y-4-3x=15$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$4y-3x=15+4$$

19 lortzeko, gehitu 15 eta 4.

$$4y-3x=19$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=7,y=10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-1 biderkatzeko.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta y-1 biderkatzeko.

$$3x-3=2y-2$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x-3-2y=-2$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$3x-2y=-2+3$$

1 lortzeko, gehitu -2 eta 3.

$$3x-2y=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta y-1 biderkatzeko.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+5 biderkatzeko.

$$4y-4=3x+15$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$4y-4-3x=15$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$4y-3x=15+4$$

19 lortzeko, gehitu 15 eta 4.

$$4y-3x=19$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

3x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

Sinplifikatu.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

Egin -9x+12y=57 ken -9x+6y=-3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

Gehitu -9x eta 9x. Sinplifikatu egiten dira -9x eta 9x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-12y=-3-57$$

Gehitu 6y eta -12y.

$$-6y=-3-57$$

Gehitu -3 eta -57.

$$-6y=-60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin -3x+4y=19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+4\times 10=19$$

Egin 4 bider 10.

$$-3x+40=19$$

Egin ken 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=10$$