Resolver {l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+y biderkatzeko.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

x lortzeko, konbinatu 3x eta -2x.

$$x+3y+9=-2y$$

Gehitu 2y bi aldeetan.

$$x+3y+9+2y=0$$

5y lortzeko, konbinatu 3y eta 2y.

$$x+5y+9=0$$

Kendu 9 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x+5y=-9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-y biderkatzeko.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-x lortzeko, konbinatu 2x eta -3x.

$$-x+2y=-3y-4$$

Gehitu 3y bi aldeetan.

$$-x+2y+3y=-4$$

5y lortzeko, konbinatu 2y eta 3y.

$$-x+5y=-4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+5y=-9$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-5y-9$$

Ordeztu -5y-9 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+5y=-4).

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

Egin -1 bider -5y-9.

$$5y+9+5y=-4$$

Gehitu 5y eta 5y.

$$10y+9=-4$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10y=-13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=-\frac{13}{10}$$

Ordeztu -\frac{13}{10} y balioarekin x=-5y-9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

Egin -5 bider -\frac{13}{10}.

$$x=\frac{13}{2}-9$$

Gehitu -9 eta \frac{13}{2}.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+y biderkatzeko.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

x lortzeko, konbinatu 3x eta -2x.

$$x+3y+9=-2y$$

Gehitu 2y bi aldeetan.

$$x+3y+9+2y=0$$

5y lortzeko, konbinatu 3y eta 2y.

$$x+5y+9=0$$

Kendu 9 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x+5y=-9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-y biderkatzeko.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-x lortzeko, konbinatu 2x eta -3x.

$$-x+2y=-3y-4$$

Gehitu 3y bi aldeetan.

$$-x+2y+3y=-4$$

5y lortzeko, konbinatu 2y eta 3y.

$$-x+5y=-4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+y biderkatzeko.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

x lortzeko, konbinatu 3x eta -2x.

$$x+3y+9=-2y$$

Gehitu 2y bi aldeetan.

$$x+3y+9+2y=0$$

5y lortzeko, konbinatu 3y eta 2y.

$$x+5y+9=0$$

Kendu 9 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x+5y=-9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-y biderkatzeko.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

-x lortzeko, konbinatu 2x eta -3x.

$$-x+2y=-3y-4$$

Gehitu 3y bi aldeetan.

$$-x+2y+3y=-4$$

5y lortzeko, konbinatu 2y eta 3y.

$$-x+5y=-4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Egin -x+5y=-4 ken x+5y=-9 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

Gehitu 5y eta -5y. Sinplifikatu egiten dira 5y eta -5y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x+x=-9+4$$

Gehitu x eta x.

$$2x=-9+4$$

Gehitu -9 eta 4.

$$2x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ordeztu -\frac{5}{2} x balioarekin -x+5y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

Egin -1 bider -\frac{5}{2}.

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=-\frac{13}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-\frac{13}{10}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$