Resolver {l}{3(x+y)+2(x-y)=18}{2(x+y)-(x-y)=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 2 ( x - y ) = 18 } \\ { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$y = -\frac{19}{7} = -2\frac{5}{7} \approx -2.714285714$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+y biderkatzeko.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

5x lortzeko, konbinatu 3x eta 2x.

$$5x+3y-2y=18$$

y lortzeko, konbinatu 3y eta -2y.

$$5x+y=18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

x-y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x+2y-x+y=-4$$

x lortzeko, konbinatu 2x eta -x.

$$x+2y+y=-4$$

3y lortzeko, konbinatu 2y eta y.

$$x+3y=-4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+y=18$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-y+18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+18\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -y+18.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}$$

Ordeztu \frac{-y+18}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+3y=-4).

$$-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}+3y=-4$$

Gehitu -\frac{y}{5} eta 3y.

$$\frac{14}{5}y+\frac{18}{5}=-4$$

Egin ken \frac{18}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{14}{5}y=-\frac{38}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{14}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{19}{7}$$

Ordeztu -\frac{19}{7} y balioarekin x=-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{19}{7}\right)+\frac{18}{5}$$

Egin -\frac{1}{5} bider -\frac{19}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{19}{35}+\frac{18}{5}$$

Gehitu \frac{18}{5} eta \frac{19}{35} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{29}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+y biderkatzeko.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

5x lortzeko, konbinatu 3x eta 2x.

$$5x+3y-2y=18$$

y lortzeko, konbinatu 3y eta -2y.

$$5x+y=18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

x-y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x+2y-x+y=-4$$

x lortzeko, konbinatu 2x eta -x.

$$x+2y+y=-4$$

3y lortzeko, konbinatu 2y eta y.

$$x+3y=-4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-1}&-\frac{1}{5\times 3-1}\\-\frac{1}{5\times 3-1}&\frac{5}{5\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 18-\frac{1}{14}\left(-4\right)\\-\frac{1}{14}\times 18+\frac{5}{14}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\-\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+y biderkatzeko.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

5x lortzeko, konbinatu 3x eta 2x.

$$5x+3y-2y=18$$

y lortzeko, konbinatu 3y eta -2y.

$$5x+y=18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

x-y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x+2y-x+y=-4$$

x lortzeko, konbinatu 2x eta -x.

$$x+2y+y=-4$$

3y lortzeko, konbinatu 2y eta y.

$$x+3y=-4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

5x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5x+y=18,5x+5\times 3y=5\left(-4\right)$$

Sinplifikatu.

$$5x+y=18,5x+15y=-20$$

Egin 5x+15y=-20 ken 5x+y=18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x+y-15y=18+20$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-15y=18+20$$

Gehitu y eta -15y.

$$-14y=18+20$$

Gehitu 18 eta 20.

$$-14y=38$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -14 balioarekin.

$$y=-\frac{19}{7}$$

Ordeztu -\frac{19}{7} y balioarekin x+3y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+3\left(-\frac{19}{7}\right)=-4$$

Egin 3 bider -\frac{19}{7}.

$$x-\frac{57}{7}=-4$$

Gehitu \frac{57}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{29}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$