Resolver {l}{3(x+2)=2y}{2cy+5=7x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + 5 = 7 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

$$c\neq \frac{7}{3}$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+2 biderkatzeko.

$$3x+6=2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+6-2y=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3x-2y=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7x bi aldeetatik.

$$2cy+5-7x=0$$

Kendu 5 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2cy-7x=-5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=-6$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

Ordeztu \frac{2y}{3}-2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-7x+2cy=-5).

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-5$$

Egin -7 bider \frac{2y}{3}-2.

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-5$$

Gehitu -\frac{14y}{3} eta 2cy.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-5$$

Egin ken 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-19$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{14}{3}+2c balioarekin.

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Ordeztu -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)} y balioarekin x=\frac{2}{3}y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

Egin \frac{2}{3} bider -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)}.

$$x=-\frac{19}{3c-7}-2$$

Gehitu -2 eta -\frac{19}{-7+3c}.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+2 biderkatzeko.

$$3x+6=2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+6-2y=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3x-2y=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7x bi aldeetatik.

$$2cy+5-7x=0$$

Kendu 5 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2cy-7x=-5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-5\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6c+5}{3c-7}\\-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+2 biderkatzeko.

$$3x+6=2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x+6-2y=0$$

Kendu 6 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$3x-2y=-6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7x bi aldeetatik.

$$2cy+5-7x=0$$

Kendu 5 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2cy-7x=-5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

3x eta -7x berdintzeko, biderkatu -7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-15$$

Egin -21x+6cy=-15 ken -21x+14y=42 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

Gehitu -21x eta 21x. Sinplifikatu egiten dira -21x eta 21x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

Gehitu 14y eta -6cy.

$$\left(14-6c\right)y=42+15$$

Gehitu 42 eta 15.

$$\left(14-6c\right)y=57$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14-6c balioarekin.

$$y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$

Ordeztu \frac{57}{2\left(7-3c\right)} y balioarekin -7x+2cy=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-7x+2c\times \frac{57}{2\left(7-3c\right)}=-5$$

Egin 2c bider \frac{57}{2\left(7-3c\right)}.

$$-7x+\frac{57c}{7-3c}=-5$$

Egin ken \frac{57c}{7-3c} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=-\frac{7\left(6c+5\right)}{7-3c}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c},y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$