Resolver {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta 5x-2 biderkatzeko.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Erabili banaketa-propietatea -7 eta 2y+3 biderkatzeko.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 lortzeko, -6 balioari kendu 21.

$$15x-27-14y=2$$

Gehitu 27 bi aldeetan.

$$15x-14y=2+27$$

29 lortzeko, gehitu 2 eta 27.

$$15x-14y=29$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 3x-y biderkatzeko.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 4-9x biderkatzeko.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Gehitu 27x bi aldeetan.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x lortzeko, konbinatu 6x eta 27x.

$$33x-2y-23=12$$

Gehitu 23 bi aldeetan.

$$33x-2y=12+23$$

35 lortzeko, gehitu 12 eta 23.

$$33x-2y=35$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$15x-14y=29$$

Gehitu 14y ekuazioaren bi aldeetan.

$$15x=14y+29$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

Egin \frac{1}{15} bider 14y+29.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

Ordeztu \frac{14y+29}{15} balioa x balioarekin beste ekuazioan (33x-2y=35).

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

Egin 33 bider \frac{14y+29}{15}.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

Gehitu \frac{154y}{5} eta -2y.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

Egin ken \frac{319}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{144}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

Egin \frac{14}{15} bider -1.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

Gehitu \frac{29}{15} eta -\frac{14}{15} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta 5x-2 biderkatzeko.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Erabili banaketa-propietatea -7 eta 2y+3 biderkatzeko.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 lortzeko, -6 balioari kendu 21.

$$15x-27-14y=2$$

Gehitu 27 bi aldeetan.

$$15x-14y=2+27$$

29 lortzeko, gehitu 2 eta 27.

$$15x-14y=29$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 3x-y biderkatzeko.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 4-9x biderkatzeko.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Gehitu 27x bi aldeetan.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x lortzeko, konbinatu 6x eta 27x.

$$33x-2y-23=12$$

Gehitu 23 bi aldeetan.

$$33x-2y=12+23$$

35 lortzeko, gehitu 12 eta 23.

$$33x-2y=35$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta 5x-2 biderkatzeko.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Erabili banaketa-propietatea -7 eta 2y+3 biderkatzeko.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 lortzeko, -6 balioari kendu 21.

$$15x-27-14y=2$$

Gehitu 27 bi aldeetan.

$$15x-14y=2+27$$

29 lortzeko, gehitu 2 eta 27.

$$15x-14y=29$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 3x-y biderkatzeko.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 4-9x biderkatzeko.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Gehitu 27x bi aldeetan.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x lortzeko, konbinatu 6x eta 27x.

$$33x-2y-23=12$$

Gehitu 23 bi aldeetan.

$$33x-2y=12+23$$

35 lortzeko, gehitu 12 eta 23.

$$33x-2y=35$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

15x eta 33x berdintzeko, biderkatu 33 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 15 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

Sinplifikatu.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

Egin 495x-30y=525 ken 495x-462y=957 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

Gehitu 495x eta -495x. Sinplifikatu egiten dira 495x eta -495x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-462y+30y=957-525$$

Gehitu -462y eta 30y.

$$-432y=957-525$$

Gehitu 957 eta -525.

$$-432y=432$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -432 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 33x-2y=35 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

Egin -2 bider -1.

$$33x+2=35$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$33x=33$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 33 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$