Resolver {l}{3(2x-y)=x-y}{x+5y=4(x+y)-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - y ) = x - y } \\ { x + 5 y = 4 ( x + y ) - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta 2x-y biderkatzeko.

$$6x-3y=x-y$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$6x-3y-x=-y$$

5x lortzeko, konbinatu 6x eta -x.

$$5x-3y=-y$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$5x-3y+y=0$$

-2y lortzeko, konbinatu -3y eta y.

$$5x-2y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+y biderkatzeko.

$$x+5y=4x+4y-1$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$x+5y-4x=4y-1$$

-3x lortzeko, konbinatu x eta -4x.

$$-3x+5y=4y-1$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$-3x+5y-4y=-1$$

y lortzeko, konbinatu 5y eta -4y.

$$-3x+y=-1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-2y=0,-3x+y=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-2y=0$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=2y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\times 2y$$

Egin \frac{1}{5} bider 2y.

$$x=\frac{2}{5}y$$

Ordeztu \frac{2y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+y=-1).

$$-3\times \frac{2}{5}y+y=-1$$

Egin -3 bider \frac{2y}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+y=-1$$

Gehitu -\frac{6y}{5} eta y.

$$-\frac{1}{5}y=-1$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=\frac{2}{5}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{5}\times 5$$

Egin \frac{2}{5} bider 5.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta 2x-y biderkatzeko.

$$6x-3y=x-y$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$6x-3y-x=-y$$

5x lortzeko, konbinatu 6x eta -x.

$$5x-3y=-y$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$5x-3y+y=0$$

-2y lortzeko, konbinatu -3y eta y.

$$5x-2y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+y biderkatzeko.

$$x+5y=4x+4y-1$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$x+5y-4x=4y-1$$

-3x lortzeko, konbinatu x eta -4x.

$$-3x+5y=4y-1$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$-3x+5y-4y=-1$$

y lortzeko, konbinatu 5y eta -4y.

$$-3x+y=-1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-2y=0,-3x+y=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-2\\-3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-1\right)\\-5\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta 2x-y biderkatzeko.

$$6x-3y=x-y$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$6x-3y-x=-y$$

5x lortzeko, konbinatu 6x eta -x.

$$5x-3y=-y$$

Gehitu y bi aldeetan.

$$5x-3y+y=0$$

-2y lortzeko, konbinatu -3y eta y.

$$5x-2y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+y biderkatzeko.

$$x+5y=4x+4y-1$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$x+5y-4x=4y-1$$

-3x lortzeko, konbinatu x eta -4x.

$$-3x+5y=4y-1$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$-3x+5y-4y=-1$$

y lortzeko, konbinatu 5y eta -4y.

$$-3x+y=-1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-2y=0,-3x+y=-1$$

5x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 5x-3\left(-2\right)y=0,5\left(-3\right)x+5y=5\left(-1\right)$$

Sinplifikatu.

$$-15x+6y=0,-15x+5y=-5$$

Egin -15x+5y=-5 ken -15x+6y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-15x+15x+6y-5y=5$$

Gehitu -15x eta 15x. Sinplifikatu egiten dira -15x eta 15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-5y=5$$

Gehitu 6y eta -5y.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin -3x+y=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+5=-1$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=5$$