Resolver {l}{25x+35y=16500}{x+y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=100$$

$$y=400$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$25x+35y=16500$$

Egin ken 35y ekuazioaren bi aldeetan.

$$25x=-35y+16500$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

Egin \frac{1}{25} bider -35y+16500.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

Ordeztu -\frac{7y}{5}+660 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=500).

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

Gehitu -\frac{7y}{5} eta y.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

Egin ken 660 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{2}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=400$$

Ordeztu 400 y balioarekin x=-\frac{7}{5}y+660 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

Egin -\frac{7}{5} bider 400.

$$x=-560+660$$

Gehitu 660 eta -560.

$$x=100$$

Ebatzi da sistema.

$$x=100,y=400$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=100,y=400$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

25x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 25 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

Sinplifikatu.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

Egin 25x+25y=12500 ken 25x+35y=16500 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

Gehitu 25x eta -25x. Sinplifikatu egiten dira 25x eta -25x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$35y-25y=16500-12500$$

Gehitu 35y eta -25y.

$$10y=16500-12500$$

Gehitu 16500 eta -12500.

$$10y=4000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=400$$

Ordeztu 400 y balioarekin x+y=500 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+400=500$$

Egin ken 400 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=100$$

Ebatzi da sistema.

$$x=100,y=400$$