Resolver {l}{220x+108+100y=352}{600y+220x+108=316}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 220 x + 108 + 100 y = 352 } \\ { 600 y + 220 x + 108 = 316 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{314}{275} = 1\frac{39}{275} \approx 1.141818182$$

$$y=-\frac{9}{125}=-0.072$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$220x+100y+108=352$$

Egin ken 108 ekuazioaren bi aldeetan.

$$220x+100y=244$$

Egin ken 100y ekuazioaren bi aldeetan.

$$220x=-100y+244$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 220 balioarekin.

$$x=\frac{1}{220}\left(-100y+244\right)$$

Egin \frac{1}{220} bider -100y+244.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}$$

Ordeztu -\frac{5y}{11}+\frac{61}{55} balioa x balioarekin beste ekuazioan (220x+600y+108=316).

$$220\left(-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}\right)+600y+108=316$$

Egin 220 bider -\frac{5y}{11}+\frac{61}{55}.

$$-100y+244+600y+108=316$$

Gehitu -100y eta 600y.

$$500y+244+108=316$$

Gehitu 244 eta 108.

$$500y+352=316$$

Egin ken 352 ekuazioaren bi aldeetan.

$$500y=-36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 500 balioarekin.

$$y=-\frac{9}{125}$$

Ordeztu -\frac{9}{125} y balioarekin x=-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{11}\left(-\frac{9}{125}\right)+\frac{61}{55}$$

Egin -\frac{5}{11} bider -\frac{9}{125}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{9}{275}+\frac{61}{55}$$

Gehitu \frac{61}{55} eta \frac{9}{275} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{314}{275}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{600}{220\times 600-100\times 220}&-\frac{100}{220\times 600-100\times 220}\\-\frac{220}{220\times 600-100\times 220}&\frac{220}{220\times 600-100\times 220}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{550}&-\frac{1}{1100}\\-\frac{1}{500}&\frac{1}{500}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{550}\times 244-\frac{1}{1100}\times 208\\-\frac{1}{500}\times 244+\frac{1}{500}\times 208\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{314}{275}\\-\frac{9}{125}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

Egin 220x+600y+108=316 ken 220x+100y+108=352 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$220x-220x+100y-600y+108-108=352-316$$

Gehitu 220x eta -220x. Sinplifikatu egiten dira 220x eta -220x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$100y-600y+108-108=352-316$$

Gehitu 100y eta -600y.

$$-500y+108-108=352-316$$

Gehitu 108 eta -108.

$$-500y=352-316$$

Gehitu 352 eta -316.

$$-500y=36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -500 balioarekin.

$$y=-\frac{9}{125}$$

Ordeztu -\frac{9}{125} y balioarekin 220x+600y+108=316 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$220x+600\left(-\frac{9}{125}\right)+108=316$$

Egin 600 bider -\frac{9}{125}.

$$220x-\frac{216}{5}+108=316$$

Gehitu -\frac{216}{5} eta 108.

$$220x+\frac{324}{5}=316$$

Egin ken \frac{324}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$220x=\frac{1256}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 220 balioarekin.

$$x=\frac{314}{275}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$