Resolver {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=40$$

$$y=55$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 20 bi aldeetatik.

$$x+y=115-20$$

95 lortzeko, 115 balioari kendu 20.

$$x+y=95$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 8y bi aldeetatik.

$$11x-8y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=95$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+95$$

Ordeztu -y+95 balioa x balioarekin beste ekuazioan (11x-8y=0).

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

Egin 11 bider -y+95.

$$-11y+1045-8y=0$$

Gehitu -11y eta -8y.

$$-19y+1045=0$$

Egin ken 1045 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-19y=-1045$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -19 balioarekin.

$$y=55$$

Ordeztu 55 y balioarekin x=-y+95 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-55+95$$

Gehitu 95 eta -55.

$$x=40$$

Ebatzi da sistema.

$$x=40,y=55$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 20 bi aldeetatik.

$$x+y=115-20$$

95 lortzeko, 115 balioari kendu 20.

$$x+y=95$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 8y bi aldeetatik.

$$11x-8y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=40,y=55$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 20 bi aldeetatik.

$$x+y=115-20$$

95 lortzeko, 115 balioari kendu 20.

$$x+y=95$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 8y bi aldeetatik.

$$11x-8y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

x eta 11x berdintzeko, biderkatu 11 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

Sinplifikatu.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

Egin 11x-8y=0 ken 11x+11y=1045 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

Gehitu 11x eta -11x. Sinplifikatu egiten dira 11x eta -11x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$11y+8y=1045$$

Gehitu 11y eta 8y.

$$19y=1045$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$y=55$$

Ordeztu 55 y balioarekin 11x-8y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$11x-8\times 55=0$$

Egin -8 bider 55.

$$11x-440=0$$

Gehitu 440 ekuazioaren bi aldeetan.

$$11x=440$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$x=40$$

Ebatzi da sistema.

$$x=40,y=55$$