Resolver {l}{2y=3x-6}{5x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2y-3x=-6$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2y-3x=-6$$

Gehitu 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=3x-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Ordeztu \frac{3x}{2}-3 balioa y balioarekin beste ekuazioan (4y+5x=8).

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

Egin 4 bider \frac{3x}{2}-3.

$$6x-12+5x=8$$

Gehitu 6x eta 5x.

$$11x-12=8$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$11x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$x=\frac{20}{11}$$

Ordeztu \frac{20}{11} x balioarekin y=\frac{3}{2}x-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

Egin \frac{3}{2} bider \frac{20}{11}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{30}{11}-3$$

Gehitu -3 eta \frac{30}{11}.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2y-3x=-6$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2y-3x=-6$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

2y eta 4y berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

Sinplifikatu.

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

Egin 8y+10x=16 ken 8y-12x=-24 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

Gehitu 8y eta -8y. Sinplifikatu egiten dira 8y eta -8y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12x-10x=-24-16$$

Gehitu -12x eta -10x.

$$-22x=-24-16$$

Gehitu -24 eta -16.

$$-22x=-40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -22 balioarekin.

$$x=\frac{20}{11}$$

Ordeztu \frac{20}{11} x balioarekin 4y+5x=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

Egin 5 bider \frac{20}{11}.

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

Egin ken \frac{100}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=-\frac{12}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$