Resolver {l}{2x-y=6}{x+y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 6 } \\ { x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-y=6,x+y=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-y=6$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+6\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider y+6.

$$x=\frac{1}{2}y+3$$

Ordeztu \frac{y}{2}+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=-3).

$$\frac{1}{2}y+3+y=-3$$

Gehitu \frac{y}{2} eta y.

$$\frac{3}{2}y+3=-3$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{2}y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=\frac{1}{2}y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4\right)+3$$

Egin \frac{1}{2} bider -4.

$$x=-2+3$$

Gehitu 3 eta -2.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-y=6,x+y=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{1}{3}\left(-3\right)\\-\frac{1}{3}\times 6+\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-y=6,x+y=-3$$

2x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x-y=6,2x+2y=2\left(-3\right)$$

Sinplifikatu.

$$2x-y=6,2x+2y=-6$$

Egin 2x+2y=-6 ken 2x-y=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-y-2y=6+6$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y-2y=6+6$$

Gehitu -y eta -2y.

$$-3y=6+6$$

Gehitu 6 eta 6.

$$-3y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x+y=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-4=-3$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-4$$