Resolver {l}{2x-y=5}{-x=30-3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { - x = 30 - 3 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=9$$

$$y=13$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$-x+3y=30$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-y=5$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{5+y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+3y=30).

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=30$$

Egin -1 bider \frac{5+y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+3y=30$$

Gehitu -\frac{y}{2} eta 3y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}=30$$

Gehitu \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{2}y=\frac{65}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=13$$

Ordeztu 13 y balioarekin x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\times 13+\frac{5}{2}$$

Egin \frac{1}{2} bider 13.

$$x=\frac{13+5}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta \frac{13}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=13$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$-x+3y=30$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=9,y=13$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$-x+3y=30$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

2x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2x-\left(-y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 30$$

Sinplifikatu.

$$-2x+y=-5,-2x+6y=60$$

Egin -2x+6y=60 ken -2x+y=-5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x+y-6y=-5-60$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-6y=-5-60$$

Gehitu y eta -6y.

$$-5y=-5-60$$

Gehitu -5 eta -60.

$$-5y=-65$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=13$$

Ordeztu 13 y balioarekin -x+3y=30 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+3\times 13=30$$

Egin 3 bider 13.

$$-x+39=30$$

Egin ken 39 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=13$$