Resolver {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$2x-y-4x=-3$$

-2x lortzeko, konbinatu 2x eta -4x.

$$-2x-y=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-2x-y=-3$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=y-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

Egin -\frac{1}{2} bider y-3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{-y+3}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=\frac{1}{2}).

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

Gehitu -\frac{y}{2} eta y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

Egin ken \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider -2.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

Gehitu \frac{3}{2} eta 1.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$2x-y-4x=-3$$

-2x lortzeko, konbinatu 2x eta -4x.

$$-2x-y=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$2x-y-4x=-3$$

-2x lortzeko, konbinatu 2x eta -4x.

$$-2x-y=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

-2x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

Sinplifikatu.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

Egin -2x-2y=-1 ken -2x-y=-3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y+2y=-3+1$$

Gehitu -y eta 2y.

$$y=-3+1$$

Gehitu -3 eta 1.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x+y=\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$