Resolver {l}{2x-y=4}{3x-5y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 } \\ { 3 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-y=4$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Ordeztu \frac{y}{2}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-5y=15).

$$3\left(\frac{1}{2}y+2\right)-5y=15$$

Egin 3 bider \frac{y}{2}+2.

$$\frac{3}{2}y+6-5y=15$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta -5y.

$$-\frac{7}{2}y+6=15$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{2}y=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{18}{7}$$

Ordeztu -\frac{18}{7} y balioarekin x=\frac{1}{2}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{18}{7}\right)+2$$

Egin \frac{1}{2} bider -\frac{18}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{9}{7}+2$$

Gehitu 2 eta -\frac{9}{7}.

$$x=\frac{5}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 4-\frac{1}{7}\times 15\\\frac{3}{7}\times 4-\frac{2}{7}\times 15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 15$$

Sinplifikatu.

$$6x-3y=12,6x-10y=30$$

Egin 6x-10y=30 ken 6x-3y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-3y+10y=12-30$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y+10y=12-30$$

Gehitu -3y eta 10y.

$$7y=12-30$$

Gehitu 12 eta -30.

$$7y=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=-\frac{18}{7}$$

Ordeztu -\frac{18}{7} y balioarekin 3x-5y=15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-5\left(-\frac{18}{7}\right)=15$$

Egin -5 bider -\frac{18}{7}.

$$3x+\frac{90}{7}=15$$

Egin ken \frac{90}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{15}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{5}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$