Resolver {l}{2x-y=2}{3x=2(5-y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 3 x = 2 ( 5 - y ) } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 5-y biderkatzeko.

$$3x=10-2y$$

Gehitu 2y bi aldeetan.

$$3x+2y=10$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-y=2$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

Ordeztu \frac{y}{2}+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=10).

$$3\left(\frac{1}{2}y+1\right)+2y=10$$

Egin 3 bider \frac{y}{2}+1.

$$\frac{3}{2}y+3+2y=10$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta 2y.

$$\frac{7}{2}y+3=10$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{2}y=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=\frac{1}{2}y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\times 2+1$$

Egin \frac{1}{2} bider 2.

$$x=1+1$$

Gehitu 1 eta 1.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 5-y biderkatzeko.

$$3x=10-2y$$

Gehitu 2y bi aldeetan.

$$3x+2y=10$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 2+\frac{2}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 5-y biderkatzeko.

$$3x=10-2y$$

Gehitu 2y bi aldeetan.

$$3x+2y=10$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 2,2\times 3x+2\times 2y=2\times 10$$

Sinplifikatu.

$$6x-3y=6,6x+4y=20$$

Egin 6x+4y=20 ken 6x-3y=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-3y-4y=6-20$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-4y=6-20$$

Gehitu -3y eta -4y.

$$-7y=6-20$$

Gehitu 6 eta -20.

$$-7y=-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 3x+2y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\times 2=10$$

Egin 2 bider 2.

$$3x+4=10$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=2$$