Resolver {l}{2x-x=4m+2}{x-2x=5m-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - x = 4 m + 2 } \\ { x - 2 x = 5 m - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, m

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$m=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. x lortzeko, konbinatu 2x eta -x.

$$x=4m+2$$

Ordeztu 4m+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x-5m=-5).

$$-\left(4m+2\right)-5m=-5$$

Egin -1 bider 4m+2.

$$-4m-2-5m=-5$$

Gehitu -4m eta -5m.

$$-9m-2=-5$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9m=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$m=\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{1}{3} m balioarekin x=4m+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=4\times \frac{1}{3}+2$$

Egin 4 bider \frac{1}{3}.

$$x=\frac{4}{3}+2$$

Gehitu 2 eta \frac{4}{3}.

$$x=\frac{10}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. x lortzeko, konbinatu 2x eta -x.

$$x=4m+2$$

Kendu 4m bi aldeetatik.

$$x-4m=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. -x lortzeko, konbinatu x eta -2x.

$$-x=5m-5$$

Kendu 5m bi aldeetatik.

$$-x-5m=-5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 2-\frac{4}{9}\left(-5\right)\\-\frac{1}{9}\times 2-\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta m matrize-elementuak.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. x lortzeko, konbinatu 2x eta -x.

$$x=4m+2$$

Kendu 4m bi aldeetatik.

$$x-4m=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. -x lortzeko, konbinatu x eta -2x.

$$-x=5m-5$$

Kendu 5m bi aldeetatik.

$$-x-5m=-5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-x-\left(-4m\right)=-2,-x-5m=-5$$

Sinplifikatu.

$$-x+4m=-2,-x-5m=-5$$

Egin -x-5m=-5 ken -x+4m=-2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-x+x+4m+5m=-2+5$$

Gehitu -x eta x. Sinplifikatu egiten dira -x eta x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4m+5m=-2+5$$

Gehitu 4m eta 5m.

$$9m=-2+5$$

Gehitu -2 eta 5.

$$9m=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$m=\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{1}{3} m balioarekin -x-5m=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x-5\times \frac{1}{3}=-5$$

Egin -5 bider \frac{1}{3}.

$$-x-\frac{5}{3}=-5$$

Gehitu \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-\frac{10}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=\frac{10}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$