Resolver {l}{2x-7y=8}{y-2x=-3.20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 y = 8 } \\ { y - 2 x = - 3.20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1.2$$

$$y=-0.8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-7y=8$$

Gehitu 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=7y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(7y+8\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 7y+8.

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

Ordeztu \frac{7y}{2}+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x+y=-3.2).

$$-2\left(\frac{7}{2}y+4\right)+y=-3.2$$

Egin -2 bider \frac{7y}{2}+4.

$$-7y-8+y=-3.2$$

Gehitu -7y eta y.

$$-6y-8=-3.2$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6y=4.8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=-0.8$$

Ordeztu -0.8 y balioarekin x=\frac{7}{2}y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7}{2}\left(-0.8\right)+4$$

Egin \frac{7}{2} bider -0.8, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{14}{5}+4$$

Gehitu 4 eta -\frac{14}{5}.

$$x=\frac{6}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{6}{5},y=-0.8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 8-\frac{7}{12}\left(-3.2\right)\\-\frac{1}{6}\times 8-\frac{1}{6}\left(-3.2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

2x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 2x-2\left(-7\right)y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2y=2\left(-3.2\right)$$

Sinplifikatu.

$$-4x+14y=-16,-4x+2y=-6.4$$

Egin -4x+2y=-6.4 ken -4x+14y=-16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-4x+4x+14y-2y=-16+6.4$$

Gehitu -4x eta 4x. Sinplifikatu egiten dira -4x eta 4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$14y-2y=-16+6.4$$

Gehitu 14y eta -2y.

$$12y=-16+6.4$$

Gehitu -16 eta 6.4.

$$12y=-9.6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$y=-\frac{4}{5}$$

Ordeztu -\frac{4}{5} y balioarekin -2x+y=-3.2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x-\frac{4}{5}=-3.2$$

Gehitu \frac{4}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-\frac{12}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=\frac{6}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$