Resolver {l}{2x-6y=34}{8x-3y=-11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 6 y = 34 } \\ { 8 x - 3 y = - 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=-7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-6y=34$$

Gehitu 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=6y+34$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(6y+34\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 6y+34.

$$x=3y+17$$

Ordeztu 3y+17 balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x-3y=-11).

$$8\left(3y+17\right)-3y=-11$$

Egin 8 bider 3y+17.

$$24y+136-3y=-11$$

Gehitu 24y eta -3y.

$$21y+136=-11$$

Egin ken 136 ekuazioaren bi aldeetan.

$$21y=-147$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 21 balioarekin.

$$y=-7$$

Ordeztu -7 y balioarekin x=3y+17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3\left(-7\right)+17$$

Egin 3 bider -7.

$$x=-21+17$$

Gehitu 17 eta -21.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}&-\frac{-6}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{1}{7}\\-\frac{4}{21}&\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 34+\frac{1}{7}\left(-11\right)\\-\frac{4}{21}\times 34+\frac{1}{21}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=-7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

2x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\times 2x+8\left(-6\right)y=8\times 34,2\times 8x+2\left(-3\right)y=2\left(-11\right)$$

Sinplifikatu.

$$16x-48y=272,16x-6y=-22$$

Egin 16x-6y=-22 ken 16x-48y=272 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$16x-16x-48y+6y=272+22$$

Gehitu 16x eta -16x. Sinplifikatu egiten dira 16x eta -16x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-48y+6y=272+22$$

Gehitu -48y eta 6y.

$$-42y=272+22$$

Gehitu 272 eta 22.

$$-42y=294$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -42 balioarekin.

$$y=-7$$

Ordeztu -7 y balioarekin 8x-3y=-11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x-3\left(-7\right)=-11$$

Egin -3 bider -7.

$$8x+21=-11$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=-32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-7$$