Resolver {l}{2x-6y=-2}{5x-3y=31}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 6 y = - 2 } \\ { 5 x - 3 y = 31 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=8$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-6y=-2,5x-3y=31$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-6y=-2$$

Gehitu 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=6y-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(6y-2\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 6y-2.

$$x=3y-1$$

Ordeztu 3y-1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-3y=31).

$$5\left(3y-1\right)-3y=31$$

Egin 5 bider 3y-1.

$$15y-5-3y=31$$

Gehitu 15y eta -3y.

$$12y-5=31$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12y=36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=3y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3\times 3-1$$

Egin 3 bider 3.

$$x=9-1$$

Gehitu -1 eta 9.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-6y=-2,5x-3y=31$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\31\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-6\\5&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\31\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\31\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\31\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\31\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{5}{24}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\31\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{1}{4}\times 31\\-\frac{5}{24}\left(-2\right)+\frac{1}{12}\times 31\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=8,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-6y=-2,5x-3y=31$$

2x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 2x+5\left(-6\right)y=5\left(-2\right),2\times 5x+2\left(-3\right)y=2\times 31$$

Sinplifikatu.

$$10x-30y=-10,10x-6y=62$$

Egin 10x-6y=62 ken 10x-30y=-10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x-30y+6y=-10-62$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-30y+6y=-10-62$$

Gehitu -30y eta 6y.

$$-24y=-10-62$$

Gehitu -10 eta -62.

$$-24y=-72$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -24 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 5x-3y=31 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-3\times 3=31$$

Egin -3 bider 3.

$$5x-9=31$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=3$$