Resolver {l}{2x-5y=7}{4x+3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 7 } \\ { 4 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-5y=7,4x+3y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-5y=7$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=5y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+7\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 5y+7.

$$x=\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}$$

Ordeztu \frac{5y+7}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+3y=1).

$$4\left(\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)+3y=1$$

Egin 4 bider \frac{5y+7}{2}.

$$10y+14+3y=1$$

Gehitu 10y eta 3y.

$$13y+14=1$$

Egin ken 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$13y=-13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=\frac{5}{2}y+\frac{7}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{2}\left(-1\right)+\frac{7}{2}$$

Egin \frac{5}{2} bider -1.

$$x=\frac{-5+7}{2}$$

Gehitu \frac{7}{2} eta -\frac{5}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-5y=7,4x+3y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{26}&\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{26}\times 7+\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}\times 7+\frac{1}{13}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-5y=7,4x+3y=1$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 7,2\times 4x+2\times 3y=2$$

Sinplifikatu.

$$8x-20y=28,8x+6y=2$$

Egin 8x+6y=2 ken 8x-20y=28 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x-20y-6y=28-2$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-20y-6y=28-2$$

Gehitu -20y eta -6y.

$$-26y=28-2$$

Gehitu 28 eta -2.

$$-26y=26$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -26 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 4x+3y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+3\left(-1\right)=1$$

Egin 3 bider -1.

$$4x-3=1$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-1$$