Resolver {l}{2x-3y-10=0}{7y=-17-8x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 7 y = - 17 - 8 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2x-3y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 8x bi aldeetan.

$$7y+8x=-17$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=10$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Ordeztu \frac{3y}{2}+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x+7y=-17).

$$8\left(\frac{3}{2}y+5\right)+7y=-17$$

Egin 8 bider \frac{3y}{2}+5.

$$12y+40+7y=-17$$

Gehitu 12y eta 7y.

$$19y+40=-17$$

Egin ken 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$19y=-57$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x=\frac{3}{2}y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+5$$

Egin \frac{3}{2} bider -3.

$$x=-\frac{9}{2}+5$$

Gehitu 5 eta -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2x-3y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 8x bi aldeetan.

$$7y+8x=-17$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 10+\frac{3}{38}\left(-17\right)\\-\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2x-3y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 8x bi aldeetan.

$$7y+8x=-17$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

2x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\times 2x+8\left(-3\right)y=8\times 10,2\times 8x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

Sinplifikatu.

$$16x-24y=80,16x+14y=-34$$

Egin 16x+14y=-34 ken 16x-24y=80 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$16x-16x-24y-14y=80+34$$

Gehitu 16x eta -16x. Sinplifikatu egiten dira 16x eta -16x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-24y-14y=80+34$$

Gehitu -24y eta -14y.

$$-38y=80+34$$

Gehitu 80 eta 34.

$$-38y=114$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -38 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin 8x+7y=-17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x+7\left(-3\right)=-17$$

Egin 7 bider -3.

$$8x-21=-17$$

Gehitu 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$