Resolver {l}{2x-3y=8}{x+4y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 8 } \\ { x + 4 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=8,x+4y=-7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=8$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+8\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y+8.

$$x=\frac{3}{2}y+4$$

Ordeztu \frac{3y}{2}+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+4y=-7).

$$\frac{3}{2}y+4+4y=-7$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta 4y.

$$\frac{11}{2}y+4=-7$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{11}{2}y=-11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{11}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=\frac{3}{2}y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)+4$$

Egin \frac{3}{2} bider -2.

$$x=-3+4$$

Gehitu 4 eta -3.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=8,x+4y=-7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\1&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 4-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 8+\frac{3}{11}\left(-7\right)\\-\frac{1}{11}\times 8+\frac{2}{11}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=8,x+4y=-7$$

2x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x-3y=8,2x+2\times 4y=2\left(-7\right)$$

Sinplifikatu.

$$2x-3y=8,2x+8y=-14$$

Egin 2x+8y=-14 ken 2x-3y=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-3y-8y=8+14$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-8y=8+14$$

Gehitu -3y eta -8y.

$$-11y=8+14$$

Gehitu 8 eta 14.

$$-11y=22$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x+4y=-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+4\left(-2\right)=-7$$

Egin 4 bider -2.

$$x-8=-7$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-2$$