Resolver {l}{2x-3y=5}{x+3y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { x + 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=5,x+3y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=5$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{3y+5}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+3y=7).

$$\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}+3y=7$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta 3y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{5}{2}=7$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{9}{2}y=\frac{9}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{9}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3+5}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta \frac{3}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=5,x+3y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 3-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{1}{3}\times 7\\-\frac{1}{9}\times 5+\frac{2}{9}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=5,x+3y=7$$

2x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x-3y=5,2x+2\times 3y=2\times 7$$

Sinplifikatu.

$$2x-3y=5,2x+6y=14$$

Egin 2x+6y=14 ken 2x-3y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-3y-6y=5-14$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-6y=5-14$$

Gehitu -3y eta -6y.

$$-9y=5-14$$

Gehitu 5 eta -14.

$$-9y=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x+3y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+3=7$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=1$$