Resolver {l}{2x-3y=5}{-4x-9y=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { - 4 x - 9 y = 19 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$y = -\frac{29}{15} = -1\frac{14}{15} \approx -1.933333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=5,-4x-9y=19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=5$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{3y+5}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-4x-9y=19).

$$-4\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-9y=19$$

Egin -4 bider \frac{3y+5}{2}.

$$-6y-10-9y=19$$

Gehitu -6y eta -9y.

$$-15y-10=19$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-15y=29$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=-\frac{29}{15}$$

Ordeztu -\frac{29}{15} y balioarekin x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{29}{15}\right)+\frac{5}{2}$$

Egin \frac{3}{2} bider -\frac{29}{15}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{29}{10}+\frac{5}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta -\frac{29}{10} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{29}{15}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=5,-4x-9y=19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-9\right)-\left(-3\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 5-\frac{1}{10}\times 19\\-\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{15}\times 19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\-\frac{29}{15}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{29}{15}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=5,-4x-9y=19$$

2x eta -4x berdintzeko, biderkatu -4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4\times 2x-4\left(-3\right)y=-4\times 5,2\left(-4\right)x+2\left(-9\right)y=2\times 19$$

Sinplifikatu.

$$-8x+12y=-20,-8x-18y=38$$

Egin -8x-18y=38 ken -8x+12y=-20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-8x+8x+12y+18y=-20-38$$

Gehitu -8x eta 8x. Sinplifikatu egiten dira -8x eta 8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y+18y=-20-38$$

Gehitu 12y eta 18y.

$$30y=-20-38$$

Gehitu -20 eta -38.

$$30y=-58$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 30 balioarekin.

$$y=-\frac{29}{15}$$

Ordeztu -\frac{29}{15} y balioarekin -4x-9y=19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4x-9\left(-\frac{29}{15}\right)=19$$

Egin -9 bider -\frac{29}{15}.

$$-4x+\frac{87}{5}=19$$

Egin ken \frac{87}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=\frac{8}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{2}{5},y=-\frac{29}{15}$$