Resolver {l}{2x-3y=15}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y = -\frac{13}{5} = -2\frac{3}{5} = -2.6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=15$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y+15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+15\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 15+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

Ordeztu \frac{15+3y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=1).

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+y=1$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=1$$

Egin ken \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{13}{5}$$

Ordeztu -\frac{13}{5} y balioarekin x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{13}{5}\right)+\frac{15}{2}$$

Egin \frac{3}{2} bider -\frac{13}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{39}{10}+\frac{15}{2}$$

Gehitu \frac{15}{2} eta -\frac{39}{10} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{18}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{13}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

2x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x-3y=15,2x+2y=2$$

Egin 2x+2y=2 ken 2x-3y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-3y-2y=15-2$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-2y=15-2$$

Gehitu -3y eta -2y.

$$-5y=15-2$$

Gehitu 15 eta -2.

$$-5y=13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=-\frac{13}{5}$$

Ordeztu -\frac{13}{5} y balioarekin x+y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-\frac{13}{5}=1$$

Gehitu \frac{13}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{18}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$