Resolver {l}{2x-3y=1}{3x+5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { 3 x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{8}{19}\approx 0.421052632$$

$$y=-\frac{1}{19}\approx -0.052631579$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=1$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{3y+1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+5y=1).

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+5y=1$$

Egin 3 bider \frac{3y+1}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}+5y=1$$

Gehitu \frac{9y}{2} eta 5y.

$$\frac{19}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Egin ken \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{19}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{19}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{1}{19}$$

Ordeztu -\frac{1}{19} y balioarekin x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{19}\right)+\frac{1}{2}$$

Egin \frac{3}{2} bider -\frac{1}{19}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{3}{38}+\frac{1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta -\frac{3}{38} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{8}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5+3}{19}\\\frac{-3+2}{19}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\\-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3,2\times 3x+2\times 5y=2$$

Sinplifikatu.

$$6x-9y=3,6x+10y=2$$

Egin 6x+10y=2 ken 6x-9y=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-9y-10y=3-2$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9y-10y=3-2$$

Gehitu -9y eta -10y.

$$-19y=3-2$$

Gehitu 3 eta -2.

$$-19y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -19 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{19}$$

Ordeztu -\frac{1}{19} y balioarekin 3x+5y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+5\left(-\frac{1}{19}\right)=1$$

Egin 5 bider -\frac{1}{19}.

$$3x-\frac{5}{19}=1$$

Gehitu \frac{5}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{24}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{8}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$