Resolver {l}{2x-3y=1}{x+1/3+1=5-y/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { \frac { x + 1 } { 3 } + 1 = \frac { 5 - y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+1 biderkatzeko.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

8 lortzeko, gehitu 2 eta 6.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 5-y biderkatzeko.

$$2x+8=15-3y$$

Gehitu 3y bi aldeetan.

$$2x+8+3y=15$$

Kendu 8 bi aldeetatik.

$$2x+3y=15-8$$

7 lortzeko, 15 balioari kendu 8.

$$2x+3y=7$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=1$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{3y+1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=7).

$$2\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+3y=7$$

Egin 2 bider \frac{3y+1}{2}.

$$3y+1+3y=7$$

Gehitu 3y eta 3y.

$$6y+1=7$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3+1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta \frac{3}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+1 biderkatzeko.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

8 lortzeko, gehitu 2 eta 6.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 5-y biderkatzeko.

$$2x+8=15-3y$$

Gehitu 3y bi aldeetan.

$$2x+8+3y=15$$

Kendu 8 bi aldeetatik.

$$2x+3y=15-8$$

7 lortzeko, 15 balioari kendu 8.

$$2x+3y=7$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 7\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+1 biderkatzeko.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

8 lortzeko, gehitu 2 eta 6.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 5-y biderkatzeko.

$$2x+8=15-3y$$

Gehitu 3y bi aldeetan.

$$2x+8+3y=15$$

Kendu 8 bi aldeetatik.

$$2x+3y=15-8$$

7 lortzeko, 15 balioari kendu 8.

$$2x+3y=7$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

Egin 2x+3y=7 ken 2x-3y=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-3y-3y=1-7$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-3y=1-7$$

Gehitu -3y eta -3y.

$$-6y=1-7$$

Gehitu 1 eta -7.

$$-6y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 2x+3y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+3=7$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=1$$