Resolver {l}{2x-3y=-6}{-5x+2y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 6 } \\ { - 5 x + 2 y = 15 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=-6,-5x+2y=15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=-6$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-6\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y-3$$

Ordeztu \frac{3y}{2}-3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-5x+2y=15).

$$-5\left(\frac{3}{2}y-3\right)+2y=15$$

Egin -5 bider \frac{3y}{2}-3.

$$-\frac{15}{2}y+15+2y=15$$

Gehitu -\frac{15y}{2} eta 2y.

$$-\frac{11}{2}y+15=15$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{11}{2}y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{11}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=\frac{3}{2}y-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=-6,-5x+2y=15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-6\right)-\frac{3}{11}\times 15\\-\frac{5}{11}\left(-6\right)-\frac{2}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=-6,-5x+2y=15$$

2x eta -5x berdintzeko, biderkatu -5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-5\times 2x-5\left(-3\right)y=-5\left(-6\right),2\left(-5\right)x+2\times 2y=2\times 15$$

Sinplifikatu.

$$-10x+15y=30,-10x+4y=30$$

Egin -10x+4y=30 ken -10x+15y=30 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-10x+10x+15y-4y=30-30$$

Gehitu -10x eta 10x. Sinplifikatu egiten dira -10x eta 10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$15y-4y=30-30$$

Gehitu 15y eta -4y.

$$11y=30-30$$

Gehitu 30 eta -30.

$$11y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin -5x+2y=15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-5x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=0$$