Resolver {l}{2x-3y=-5}{4x+9y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 5 } \\ { 4 x + 9 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=-5$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{3y-5}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+9y=-7).

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+9y=-7$$

Egin 4 bider \frac{3y-5}{2}.

$$6y-10+9y=-7$$

Gehitu 6y eta 9y.

$$15y-10=-7$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$15y=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$y=\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{1}{5} y balioarekin x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{5}-\frac{5}{2}$$

Egin \frac{3}{2} bider \frac{1}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{3}{10}-\frac{5}{2}$$

Gehitu -\frac{5}{2} eta \frac{3}{10} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{10}\left(-7\right)\\-\frac{2}{15}\left(-5\right)+\frac{1}{15}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-5\right),2\times 4x+2\times 9y=2\left(-7\right)$$

Sinplifikatu.

$$8x-12y=-20,8x+18y=-14$$

Egin 8x+18y=-14 ken 8x-12y=-20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x-12y-18y=-20+14$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12y-18y=-20+14$$

Gehitu -12y eta -18y.

$$-30y=-20+14$$

Gehitu -20 eta 14.

$$-30y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -30 balioarekin.

$$y=\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{1}{5} y balioarekin 4x+9y=-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+9\times \frac{1}{5}=-7$$

Egin 9 bider \frac{1}{5}.

$$4x+\frac{9}{5}=-7$$

Egin ken \frac{9}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-\frac{44}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$