Resolver {l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta y+2 biderkatzeko.

$$2x-15=3y+6$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$2x-15-3y=6$$

Gehitu 15 bi aldeetan.

$$2x-3y=6+15$$

21 lortzeko, gehitu 6 eta 15.

$$2x-3y=21$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 7 eta x-4 biderkatzeko.

$$7x-28=-1-5y$$

Gehitu 5y bi aldeetan.

$$7x-28+5y=-1$$

Gehitu 28 bi aldeetan.

$$7x+5y=-1+28$$

27 lortzeko, gehitu -1 eta 28.

$$7x+5y=27$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=21$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y+21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 21+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

Ordeztu \frac{21+3y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x+5y=27).

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

Egin 7 bider \frac{21+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

Gehitu \frac{21y}{2} eta 5y.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

Egin ken \frac{147}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{31}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

Egin \frac{3}{2} bider -3.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

Gehitu \frac{21}{2} eta -\frac{9}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta y+2 biderkatzeko.

$$2x-15=3y+6$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$2x-15-3y=6$$

Gehitu 15 bi aldeetan.

$$2x-3y=6+15$$

21 lortzeko, gehitu 6 eta 15.

$$2x-3y=21$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 7 eta x-4 biderkatzeko.

$$7x-28=-1-5y$$

Gehitu 5y bi aldeetan.

$$7x-28+5y=-1$$

Gehitu 28 bi aldeetan.

$$7x+5y=-1+28$$

27 lortzeko, gehitu -1 eta 28.

$$7x+5y=27$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6,y=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta y+2 biderkatzeko.

$$2x-15=3y+6$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$2x-15-3y=6$$

Gehitu 15 bi aldeetan.

$$2x-3y=6+15$$

21 lortzeko, gehitu 6 eta 15.

$$2x-3y=21$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 7 eta x-4 biderkatzeko.

$$7x-28=-1-5y$$

Gehitu 5y bi aldeetan.

$$7x-28+5y=-1$$

Gehitu 28 bi aldeetan.

$$7x+5y=-1+28$$

27 lortzeko, gehitu -1 eta 28.

$$7x+5y=27$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

2x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

Sinplifikatu.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

Egin 14x+10y=54 ken 14x-21y=147 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

Gehitu 14x eta -14x. Sinplifikatu egiten dira 14x eta -14x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-21y-10y=147-54$$

Gehitu -21y eta -10y.

$$-31y=147-54$$

Gehitu 147 eta -54.

$$-31y=93$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -31 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin 7x+5y=27 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

Egin 5 bider -3.

$$7x-15=27$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-3$$