Resolver {l}{2x+y-6=0}{2x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y - 6 = 0 } \\ { 2 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6$$

$$y=-6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+y-6=0,2x+2y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+y-6=0$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x+y=6$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Ordeztu -\frac{y}{2}+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+2y=0).

$$2\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+2y=0$$

Egin 2 bider -\frac{y}{2}+3.

$$-y+6+2y=0$$

Gehitu -y eta 2y.

$$y+6=0$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-6\right)+3$$

Egin -\frac{1}{2} bider -6.

$$x=3+3$$

Gehitu 3 eta 3.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+y-6=0,2x+2y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-2}&-\frac{1}{2\times 2-2}\\-\frac{2}{2\times 2-2}&\frac{2}{2\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6,y=-6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+y-6=0,2x+2y=0$$

Egin 2x+2y=0 ken 2x+y-6=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+y-2y-6=0$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-2y-6=0$$

Gehitu y eta -2y.

$$-y-6=0$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin 2x+2y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+2\left(-6\right)=0$$

Egin 2 bider -6.

$$2x-12=0$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-6$$