Resolver {l}{2x+y=-6}{y=1/4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x + 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{4}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+y=-6$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-y-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Ordeztu -\frac{y}{2}-3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-\frac{1}{4}x+y=3).

$$-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Egin -\frac{1}{4} bider -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{1}{8}y+\frac{3}{4}+y=3$$

Gehitu \frac{y}{8} eta y.

$$\frac{9}{8}y+\frac{3}{4}=3$$

Egin ken \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{9}{8}y=\frac{9}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{9}{8} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2-3$$

Egin -\frac{1}{2} bider 2.

$$x=-1-3$$

Gehitu -3 eta -1.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{4}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{4}}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&-\frac{4}{9}\\\frac{1}{9}&\frac{8}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)-\frac{4}{9}\times 3\\\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{8}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{4}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

Egin -\frac{1}{4}x+y=3 ken 2x+y=-6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x+\frac{1}{4}x+y-y=-6-3$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x+\frac{1}{4}x=-6-3$$

Gehitu 2x eta \frac{x}{4}.

$$\frac{9}{4}x=-6-3$$

Gehitu -6 eta -3.

$$\frac{9}{4}x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{9}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-4$$

Ordeztu -4 x balioarekin -\frac{1}{4}x+y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-\frac{1}{4}\left(-4\right)+y=3$$

Egin -\frac{1}{4} bider -4.

$$1+y=3$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=2$$