Resolver {l}{2x+y=-2}{4x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 2 } \\ { 4 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+y=-2$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-y-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-2\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -y-2.

$$x=-\frac{1}{2}y-1$$

Ordeztu -\frac{y}{2}-1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+5y=8).

$$4\left(-\frac{1}{2}y-1\right)+5y=8$$

Egin 4 bider -\frac{y}{2}-1.

$$-2y-4+5y=8$$

Gehitu -2y eta 5y.

$$3y-4=8$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4-1$$

Egin -\frac{1}{2} bider 4.

$$x=-2-1$$

Gehitu -1 eta -2.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-4}&-\frac{1}{2\times 5-4}\\-\frac{4}{2\times 5-4}&\frac{2}{2\times 5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\left(-2\right)-\frac{1}{6}\times 8\\-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4y=4\left(-2\right),2\times 4x+2\times 5y=2\times 8$$

Sinplifikatu.

$$8x+4y=-8,8x+10y=16$$

Egin 8x+10y=16 ken 8x+4y=-8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+4y-10y=-8-16$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y-10y=-8-16$$

Gehitu 4y eta -10y.

$$-6y=-8-16$$

Gehitu -8 eta -16.

$$-6y=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 4x+5y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+5\times 4=8$$

Egin 5 bider 4.

$$4x+20=8$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=4$$