Resolver {l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+8y=16$$

Egin ken 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-8y+16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -8y+16.

$$x=-4y+8$$

Ordeztu -4y+8 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+2y+11=0).

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

Egin -1 bider -4y+8.

$$4y-8+2y+11=0$$

Gehitu 4y eta 2y.

$$6y-8+11=0$$

Gehitu -8 eta 11.

$$6y+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{1}{2} y balioarekin x=-4y+8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

Egin -4 bider -\frac{1}{2}.

$$x=2+8$$

Gehitu 8 eta 2.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

2x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

Sinplifikatu.

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

Egin -2x+4y+22=0 ken -2x-8y=-16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8y-4y-22=-16$$

Gehitu -8y eta -4y.

$$-12y-22=-16$$

Gehitu 22 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-12y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -12 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{1}{2} y balioarekin -x+2y+11=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

Egin 2 bider -\frac{1}{2}.

$$-x-1+11=0$$

Gehitu -1 eta 11.

$$-x+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$