Resolver {l}{2x+7y=15}{3x-5y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 15 } \\ { 3 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{236}{31} = 7\frac{19}{31} \approx 7.612903226$$

$$y=-\frac{1}{31}\approx -0.032258065$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+7y=15$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-7y+15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+15\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -7y+15.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}$$

Ordeztu \frac{-7y+15}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-5y=23).

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}\right)-5y=23$$

Egin 3 bider \frac{-7y+15}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{45}{2}-5y=23$$

Gehitu -\frac{21y}{2} eta -5y.

$$-\frac{31}{2}y+\frac{45}{2}=23$$

Egin ken \frac{45}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{31}{2}y=\frac{1}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{31}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{1}{31}$$

Ordeztu -\frac{1}{31} y balioarekin x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{1}{31}\right)+\frac{15}{2}$$

Egin -\frac{7}{2} bider -\frac{1}{31}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{7}{62}+\frac{15}{2}$$

Gehitu \frac{15}{2} eta \frac{7}{62} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{236}{31}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-7\times 3}&-\frac{7}{2\left(-5\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-7\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{7}{31}\\\frac{3}{31}&-\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 15+\frac{7}{31}\times 23\\\frac{3}{31}\times 15-\frac{2}{31}\times 23\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{236}{31}\\-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 23$$

Sinplifikatu.

$$6x+21y=45,6x-10y=46$$

Egin 6x-10y=46 ken 6x+21y=45 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+21y+10y=45-46$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$21y+10y=45-46$$

Gehitu 21y eta 10y.

$$31y=45-46$$

Gehitu 45 eta -46.

$$31y=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 31 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{31}$$

Ordeztu -\frac{1}{31} y balioarekin 3x-5y=23 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-5\left(-\frac{1}{31}\right)=23$$

Egin -5 bider -\frac{1}{31}.

$$3x+\frac{5}{31}=23$$

Egin ken \frac{5}{31} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{708}{31}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{236}{31}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$