Resolver {l}{2x+5y=13}{x+7y=-17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 13 } \\ { x + 7 y = - 17 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{176}{9} = 19\frac{5}{9} \approx 19.555555556$$

$$y = -\frac{47}{9} = -5\frac{2}{9} \approx -5.222222222$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+5y=13$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-5y+13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+13\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -5y+13.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}$$

Ordeztu \frac{-5y+13}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+7y=-17).

$$-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}+7y=-17$$

Gehitu -\frac{5y}{2} eta 7y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{13}{2}=-17$$

Egin ken \frac{13}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{9}{2}y=-\frac{47}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{9}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{47}{9}$$

Ordeztu -\frac{47}{9} y balioarekin x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{47}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

Egin -\frac{5}{2} bider -\frac{47}{9}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{235}{18}+\frac{13}{2}$$

Gehitu \frac{13}{2} eta \frac{235}{18} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{176}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-5}&-\frac{5}{2\times 7-5}\\-\frac{1}{2\times 7-5}&\frac{2}{2\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}&-\frac{5}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}\times 13-\frac{5}{9}\left(-17\right)\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{2}{9}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{176}{9}\\-\frac{47}{9}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

2x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+5y=13,2x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

Sinplifikatu.

$$2x+5y=13,2x+14y=-34$$

Egin 2x+14y=-34 ken 2x+5y=13 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+5y-14y=13+34$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5y-14y=13+34$$

Gehitu 5y eta -14y.

$$-9y=13+34$$

Gehitu 13 eta 34.

$$-9y=47$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$y=-\frac{47}{9}$$

Ordeztu -\frac{47}{9} y balioarekin x+7y=-17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+7\left(-\frac{47}{9}\right)=-17$$

Egin 7 bider -\frac{47}{9}.

$$x-\frac{329}{9}=-17$$

Gehitu \frac{329}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{176}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$