Resolver {l}{2x+4y=12}{5x-8y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 5 x - 8 y = 16 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \approx 4.444444444$$

$$y=\frac{7}{9}\approx 0.777777778$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+4y=12$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-4y+12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -4y+12.

$$x=-2y+6$$

Ordeztu -2y+6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-8y=16).

$$5\left(-2y+6\right)-8y=16$$

Egin 5 bider -2y+6.

$$-10y+30-8y=16$$

Gehitu -10y eta -8y.

$$-18y+30=16$$

Egin ken 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-18y=-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -18 balioarekin.

$$y=\frac{7}{9}$$

Ordeztu \frac{7}{9} y balioarekin x=-2y+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times \frac{7}{9}+6$$

Egin -2 bider \frac{7}{9}.

$$x=-\frac{14}{9}+6$$

Gehitu 6 eta -\frac{14}{9}.

$$x=\frac{40}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{36}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 16\\\frac{5}{36}\times 12-\frac{1}{18}\times 16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{9}\\\frac{7}{9}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

2x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 12,2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 16$$

Sinplifikatu.

$$10x+20y=60,10x-16y=32$$

Egin 10x-16y=32 ken 10x+20y=60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x+20y+16y=60-32$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$20y+16y=60-32$$

Gehitu 20y eta 16y.

$$36y=60-32$$

Gehitu 60 eta -32.

$$36y=28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 36 balioarekin.

$$y=\frac{7}{9}$$

Ordeztu \frac{7}{9} y balioarekin 5x-8y=16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-8\times \frac{7}{9}=16$$

Egin -8 bider \frac{7}{9}.

$$5x-\frac{56}{9}=16$$

Gehitu \frac{56}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{200}{9}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{40}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$