Resolver {l}{2x+4y=1}{2x-6y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x - 6 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+4y=1$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-4y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -4y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

Ordeztu -2y+\frac{1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-6y=-4).

$$2\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-6y=-4$$

Egin 2 bider -2y+\frac{1}{2}.

$$-4y+1-6y=-4$$

Gehitu -4y eta -6y.

$$-10y+1=-4$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1}{2} y balioarekin x=-2y+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$

Egin -2 bider \frac{1}{2}.

$$x=-1+\frac{1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta -1.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-4\times 2}&-\frac{4}{2\left(-6\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}&\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}-\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

Egin 2x-6y=-4 ken 2x+4y=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+4y+6y=1+4$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y+6y=1+4$$

Gehitu 4y eta 6y.

$$10y=1+4$$

Gehitu 1 eta 4.

$$10y=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1}{2} y balioarekin 2x-6y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-6\times \frac{1}{2}=-4$$

Egin -6 bider \frac{1}{2}.

$$2x-3=-4$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$